Modelo dinámico de cohete de agua

Se considera un cohete de agua, el cual tiene dentro aire a presión y una cierta cantidad de agua que en determinado momento se libera, generando así el empuje, como se muestra en la Figura 1. La masa y el empuje varían en el tiempo conforme se expele el propelente.

Figura 1: Cohete de agua.

En la literatura existen diversos modelos dinámicos de cohetes de agua con diferentes grados de aproximación, y en consecuencia, de complejidad [2]. En este problema se utiliza un modelo simple [1] de un solo dimensión, con las siguientes aproximaciones: el flujo es incompresible, no viscoso, irrotacional, y el aire se expande de manera isotérmica. El modelo tiene en cuenta la resistencia del aire.

El modelo dinámico del cohete es un sistema de ecuaciones diferenciales

$\{\begin{array}{c}\frac{\mathit{dP}}{\mathit{dt}}=-\frac{P^2}{P_0{V}_0}{A}_e\sqrt{2\frac{(P-P_a)}{{\mathrm{\rho }}_w}}\\ \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}=v\\ \frac{\mathit{dv}}{\mathit{dt}}=\frac{T-F_{\mathit{Drag}}}{m(P)}-g\end{array}$   (1)

con las condiciones iniciales $P(0)=P_0,V(0)=V_0,y(0)=0,v(0)=0$  que forman el problema de valor inicial a resolver.

La masa de cohete depende de tiempo como:

$m(P)=\{\begin{array}{c}{\mathrm{\rho }}_w\left(V_t-\frac{P_0{V}_0}{P}\right)+m_r\text{, antes de que salga toda el agua}\hfill \\ \\ m_r\text{, después de que salió toda el agua}\hfill \end{array}$ .

Las variables significan lo siguiente:

$T=\left|2(P-P_a)A_e\right|$  es la magnitud del empuje;

$F_{\mathit{Drag}}=\frac{1}{2}{C}_{D}A\mathrm{\rho }{v}^2=D{v}^2$  es la magnitud de fuerza de arrastre;

$D=C_{D}A\mathrm{\rho }/2$  es la constante de arrastre;

P es la presión dentro del cohete;

P0 es la presión inicial del aire;

Pa es la presión atmosférica;

V0 es volumen inicial del aire;

Vt es volumen total del cohete;

v es la velocidad de cohete;

y es la altitud de vuelo de cohete;

t es tiempo;

Ae es el área de la sección transversal de la boquilla;

CD es el coeficiente de arrastre;

A es el área de la sección transversal del cohete;

ρ es la densidad del aire;

ρw es la densidad de agua;

mr es masa del cohete vacío;

g es aceleración de la gravedad.

Una descripción más detallada del desarrollo del modelo se puede encontrar en nuestro curso.

Los parámetros del modelo se muestran en la Tabla 1.

Tabla 1: Parámetros de simulación

Al resolver numéricamente el sistema (1), se obtienen la trayectoria del cohete (Figura 2) y su velocidad (Figura 3).

Figura 2: Trayectoria del cohete.

Figura 3: Velocidad del cohete.

Los códigos del modelo de cohete de agua están disponibles en la página de Descargas.

Literatura

1. Finney, G. A. (2000). Analysis of a water-propelled rocket: A problem in honors physics. American Journal of Physics, 68(3), 223-227.

2. Prusa, J. M. (2000). Hydrodynamics of a water rocket. SIAM review, 42(4), 719-726.